第一门课：第二门课 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)

第一周：深度学习的 实践层面 (Practical aspects of Deep Learning)

1.9 归一化输入（Normalizing inputs）

训练神经网络，其中一个加速训练的方法就是归一化输入。假设一个训练集有两个特征，输入特征为 2 维，归一化需要两个步骤：

1.零均值
2.归一化方差；

我们希望无论是训练集和测试集都是通过相同的μ和${\sigma }^2$定义的数据转换，这两个是由训练集得出来的。

第一步是零均值化，$\mu =\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}$，它是一个向量，𝑥等于每个训练数据 𝑥减去𝜇，意思是移动训练集，直到它完成零均值化

第二步是归一化方差，注意特征$x_1$的方差比特征$x_2$的方差要大得多，我们要做的是给𝜎赋值，${\sigma }^2=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(x^{(i)}{)}^2$ ，这是节点y 的平方，${\sigma }^2$是一个向量，它的每个特征都有方差，注意，我们已经完成零值均化，$(x^{(i)}{)}^2$元素$y^2$就是方差，我们把所有数据除以向量${\sigma }^2$，最后变成上图形式。

x_1和x_2的方差都等于 1。提示一下，如果你用它来调整训练数据，那么用相同的 μ和${\sigma }^2$来归一化测试集。尤其是，你不希望训练集和测试集的归一化有所不同，不论μ的值是什么，也不论${\sigma }^2$的值是什么，这两个公式中都会用到它们。所以你要用同样的方法调整测试集，而不是在训练集和测试集上分别预估μ和${\sigma }^2$。因为我们希望不论是训练数据还是测试数据，都是通过相同 μ 和𝜎2定义的相同数据转换，其中 μ和${\sigma }^2$是由训练集数据计算得来的。

我们为什么要这么做呢？为什么我们想要归一化输入特征，回想一下右上角所定义的代价函数。
$$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$$

如果你使用非归一化的输入特征，代价函数会像这样：

这是一个非常细长狭窄的代价函数，你要找的最小值应该在这里。但如果特征值在不同范围，假如𝑥1取值范围从 1 到 1000，特征𝑥2的取值范围从 0 到 1，结果是参数𝑤1和𝑤2值的范围或比率将会非常不同，这些数据轴应该是𝑤1和𝑤2，但直观理解，我标记为𝑤和𝑏，代价函数就有点像狭长的碗一样，如果你能画出该函数的部分轮廓，它会是这样一个狭长的函数。

然而如果你归一化特征，代价函数平均起来看更对称，如果你在上图这样的代价函数上运行梯度下降法，你必须使用一个非常小的学习率。因为如果是在这个位置，梯度下降法可能需要多次迭代过程，直到最后找到最小值。但如果函数是一个更圆的球形轮廓，那么不论从哪个位置开始，梯度下降法都能够更直接地找到最小值，你可以在梯度下降法中使用较大步长，而不需要像在左图中那样反复执行。

当然，实际上𝑤是一个高维向量，因此用二维绘制𝑤并不能正确地传达并直观理解，但总地直观理解是代价函数会更圆一些，而且更容易优化，前提是特征都在相似范围内，而不是从 1 到 1000，0 到 1 的范围，而是在-1 到 1 范围内或相似偏差，这使得代价函数𝐽优化起来更简单快速。

实际上如果假设特征𝑥1范围在 0-1 之间，𝑥2的范围在-1 到 1 之间，𝑥3范围在 1-2 之间，它们是相似范围，所以会表现得很好。

当它们在非常不同的取值范围内，如其中一个从 1 到 1000，另一个从 0 到 1，这对优化算法非常不利。但是仅将它们设置为均化零值，假设方差为 1，就像上一张幻灯片里设定的那样，确保所有特征都在相似范围内，通常可以帮助学习算法运行得更快。

所以如果输入特征处于不同范围内，可能有些特征值从 0 到 1，有些从 1 到 1000，那么归一化特征值就非常重要了。如果特征值处于相似范围内，那么归一化就不是很重要了。执行这类归一化并不会产生什么危害，我通常会做归一化处理，虽然我不确定它能否提高训练或算法速度。

这就是归一化特征输入，下节课我们将继续讨论提升神经网络训练速度的方法。

1.10 梯度消失/梯度爆炸（Vanishing / Exploding gradients）

训练神经网络，尤其是深度神经所面临的一个问题就是梯度消失或梯度爆炸，也就是你训练神经网络的时候，导数或坡度有时会变得非常大，或者非常小，甚至于以指数方式变小，这加大了训练的难度。

这节课，你将会了解梯度消失或梯度爆炸的真正含义，以及如何更明智地选择随机初始化权重，从而避免这个问题。 假设你正在训练这样一个极深的神经网络，为了节约幻灯片上的空间，我画的神经网络每层只有两个隐藏单元，但它可能含有更多，但这个神经网络会有参数$W^{[1]}，W^{[2]}，W^{[3]}$等等，直到$W^{[l]}$，为了简单起见，假设我们使用激活函数$g(z)=z$，也就是线性激活函数，我们忽略𝑏，假设$b[l]=0$，如果那样的话，输出：
$$y=W^{[L]}{W}^{[L-1]}{W}^{[L-2]}\dots W^{[3]}{W}^{[2]}{W}^{[1]}x$$

如果你想考验我的数学水平，$W^{[1]}x=z^{[1]}$，因为b = 0，所以我想$z^{[1]}=W^{[1]}x，a^{[1]}=g(z^{[1]})$，因为我们使用了一个线性激活函数，它等于$z^{[1]}$，所以第一项$W^{[1]}x=a^{[1]}$，通过推理，你会得出$W^{[2]}{W}^{[1]}x=a^{[2]}$，因为$a^{[2]}=g(z^{[2]})$，还等于$g(W^{[2]}{a}^{[1]})$，可以用$W^{[1]}x$替换$a^{[1]}$，所以这一项就等于$a^{[2]}$，这个就是$a^{[3]}(W^{[3]}{W}^{[2]}{W}^{[1]}x)$。

所有这些矩阵数据传递的协议将给出$\hat{y}$而不是𝑦的值。

假设每个权重矩阵$W^{[L]}=\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right]$，从技术上来讲，最后一项有不同维度，可能它就是余下的权重矩阵，$y=W^{[1]}{\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right]}^{(L-1)}x$，因为我们假设所有矩阵都等于它，它是 1.5倍的单位矩阵，最后的计算结果就是$\hat{y}$，$\hat{y}$也就是等于$1.5^{(L-1)}x$。如果对于一个深度神经网络来说𝐿值较大，那么$\hat{y}$的值也会非常大，实际上它呈指数级增长的，它增长的比率是$1.5^L$，因此对于一个深度神经网络，𝑦的值将爆炸式增长。

相反的，如果权重是 0.5，$W^{[L]}=\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right]$，它比 1 小，这项也就变成了$0.5^L$，矩阵$y=W^{[1]}{\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]}^{(L-1)}x$，再次忽略$W^{[L]}$，因此每个矩阵都小于 1，假设$x_1$和$x_2$都是 1，激活函数将变成$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{4}，\frac{1}{8}，\frac{1}{8}$等，直到最后一项变成 $\frac{1}{2^L}$，所以作为自定义函数，激活函数的值将以指数级下降，它是与网络层数数量𝐿相关的函数，在深度网络中，激活函数以指数级递减。我希望你得到的直观理解是，权重W只比 1 略大一点，或者说只是比单位矩阵大一点，深度神经网络的激活函数将爆炸式增长，如果W比 1 略小一点，可能是$\left[\begin{array}{cc}0.9& 0\\ 0& 0.9\end{array}\right]$。

在深度神经网络中，激活函数将以指数级递减，虽然我只是讨论了激活函数以与𝐿相关的指数级数增长或下降，它也适用于与层数𝐿相关的导数或梯度函数，也是呈指数级增长或呈指数递减。

对于当前的神经网络，假设𝐿 = 150，最近 Microsoft 对 152 层神经网络的研究取得了很大进展，在这样一个深度神经网络中，如果激活函数或梯度函数以与𝐿相关的指数增长或递减，它们的值将会变得极大或极小，从而导致训练难度上升，尤其是梯度指数小于𝐿时，梯度下降算法的步长会非常非常小，梯度下降算法将花费很长时间来学习。

总结一下，我们讲了深度神经网络是如何产生梯度消失或爆炸问题的，实际上，在很长一段时间内，它曾是训练深度神经网络的阻力，虽然有一个不能彻底解决此问题的解决方案，但是已在如何选择初始化权重问题上提供了很多帮助。